通过 Weyr 特征刻画线性算子各次幂的核

与矩阵代数相关联的李代数中矩阵的伴随是一个基本算子，它可由两个矩阵 $A$ 和 $B$ 推广到更一般的算子 $\varphi_{AB}: X\rightarrow AX-XB$。该算子的核已广为人知，可见于 Gantmacher 的著作中。本文第二、第三作者及其合作者曾用这两个矩阵的 Segre 特征给出了算子 $\varphi_{AB}$ 任意次幂核的维数公式。本文通过 Weyr 特征以更本质的方法给出该问题的另一种途径。我们得到了用 Weyr 特征表示的算子任意次幂核维数的公式。此外，显式描述了算子各次幂核的基。作为推论，对于代数闭域上的任意方阵 $A$ 和 $B$，对 $\varphi_{AB}$ 的特征值 $\lambda$，算子 $\varphi_{A-\lambda I,B}$ 各次幂核的维数可视为算子 $\varphi_{AB}$ 的相似不变量，因此我们刻画了相似意义下的该算子，这应会引起许多人（包括物理学家）的兴趣。