渐近 Schottky 问题

设 $\mathcal M_g$ 表示亏格为 $g$ 的紧黎曼曲面的模空间，$\mathcal A_g$ 为（复）维数为 $g$ 的主极化阿贝尔簇的空间。设 $J:\mathcal M_g\longrightarrow \mathcal A_g$ 为将黎曼曲面关联至其雅可比簇的映射。映射 $J$ 是单射，且当 $g\geq 4$ 时，其像 $J(\mathcal M_g)$ 包含于 $\mathcal A_g$ 的一个真子簇中。经典且被长期研究的 Schottky 问题旨在刻画 $\mathcal A_g$ 中的雅可比轨迹 $\mathcal J_g:=J(\mathcal M_g)$。在本文中，我们探讨由 Farb 提出的该问题的大尺度版本，称为{\em 粗 Schottky 问题}：$\mathcal J_g$ “从远处看”是什么样子的，或者说在粗几何的意义下 $\mathcal J_g$ 有多“稠密”？Siegel 模簇 $\mathcal A_g$ 的粗几何由其渐近锥 $\textup{Cone}_\infty(\mathcal A_g)$ 编码，该锥是一个（实）维数为 $g$ 的欧几里得单纯锥。我们的主要结果断言，雅可比轨迹 $\mathcal J_g$ 在 $\mathcal A_g$ 中是“渐近大的”，或者说“粗稠密的”。更准确地说，由 $\mathcal J_g$ 确定的 $\textup{Cone}_\infty(\mathcal A_g)$ 的子集实际上与该锥重合。证明还表明，超椭圆曲线的雅可比轨迹在 $\mathcal A_g$ 中也是粗稠密的。我们还研究了雅可比轨迹 $\mathcal J_g$ 在 $\mathcal A_g$ 中以及在 Baily-Borel 和 Borel-Serre 紧化中的边界点。我们证明了对于大亏格 $g$，$\mathcal J_g$ 在这些紧化中的边界点集是“小”的。