Lattice上的Arf-Brown-Kervaire不变量

我们提出了Arf-Brown-Kervaire（ABK）不变量在格子上的形式化表述，其取值在$\mathbb{Z}_8$中。与标准$\mathbb{Z}$值指数相比，ABK不变量更为复杂，它出现在具有反射对称性的Majorana费米子分区函数中，且其定义包含对Dirac本征值的无穷求和，这需要恰当的正则化。我们采用带或不带域壳的标准二维方格上的巨量Wilson Dirac算子，并使用其Pfaffian进行定义。引入扭转边界条件和cross-cap，这些操作会反转方向，以实现具有非平凡$\mathrm{Pin}^{-}$结构的非平凡拓扑。我们数值地（部分解析地）验证了在 torus、Klein bottle、real projective平面（以及其三连通和）以及两种Möbius条带上的 formulation 复现了连续理论中已知的值。