薄环的环形衰减性质与变分容量估计

我们得到了加权 $\mathbf{R}^n$ 和度量空间中薄环的非线性变分容量的上下界，主要基于环形衰减性质和庞加莱不等式的假设。特别地，如果测度在 $x_0$ 处具有 $1$-环形衰减性质，且度量空间在 $x_0$ 处支持点态 $1$-庞加莱不等式，则上下界可比，我们得到了以 $x_0$ 为中心的薄环的双边估计，推广了未加权 $\mathbf{R}^n$ 中通常变分容量的已知估计。我们的大多数估计是尖锐的，我们通过给出几个关键反例来说明这一点。我们还刻画了 $1$-环形衰减性质。