弱马尔可夫系统的薄环性质与返回时间的指数分布

我们处理在称为弱马尔可夫的一大类广义动力系统迭代下，到收缩球的首次返回时间的渐近分布问题。我们最终的主要结果是，当球收缩到点时，这些分布收敛于指数律。我们将此结果应用于许多光滑动力系统类，包括共形迭代函数系统、黎曼球面 $\widehat{\mathbb C}$ 上的有理函数，以及复平面 $\mathbb{C}$ 上的超越亚纯函数。我们还将其应用于扩张排斥子和复射影空间的全纯自同态。我们方法中的关键要素之一是解决该数学领域中著名的问题，即适当估计适当定义的一大类几何环的测度。我们成功做到了。该问题在现有文献中被不同作者不同地称呼；我们称之为厚薄环性质 (Thick Thin Annuli Property)。确立了该性质后，我们证明对于非共形系统，上述分布沿着半径集合收敛到指数分布，这些集合的相对勒贝格测度快速收敛到1。但这还不是全部。在共形迭代函数系统的背景下，我们确立了完全薄环性质 (Full Thin Annuli Property)，它对所有半径给出相同估计。通过这种方式，我们解决了一个长期存在的问题。因此，我们证明了对于本质上所有共形迭代函数系统，以及借助首次返回映射技术对于所有上述共形动力系统，沿着所有半径收敛到指数律成立。