Degasperis-Procesi层次结构的代数几何解

尽管完全可积的Camassa-Holm（CH）方程和Degasperis-Procesi（DP）方程属于同一peakon族，但它们分别具有二阶和三阶Lax算子。从代数几何研究的角度来看，这种差异在于超椭圆曲线和非超椭圆曲线。非超椭圆曲线给DP方程代数几何解的构造带来了巨大困难。本文借助Lenard递归算子推导了DP层次结构。基于DP层次结构Lax矩阵的特征多项式，我们引入了一条亏格为$r-2$的三阶代数曲线$\mathcal{K}_{r-2}$，由此建立了相关的Baker-Akhiezer函数、亚纯函数和Dubrovin型方程。此外，应用代数曲线理论，得到了Baker-Akhiezer函数和亚纯函数的theta函数显式表示。特别地，我们获得了整个DP层次结构中所有方程的代数几何解。