引力几何三合一中的 $3+1$ 形式体系

引力的几何三合一提供了一个平台，使得引力可以用三种类似的方法来表述，即曲率、挠率和非度规性。就此而言，广义相对论可以用三种动力学等价的方式来表达，这或许能揭示这些分解的不同性质，例如它们的哈密顿结构、数值分析的效率，以及引力场自由度的分类。在这项工作中，我们对与基于曲率的广义相对论动力学等价的遥平行广义相对论和对称遥平行广义相对论的等价理论进行了 $3+1$ 分解。通过将时空度规及相应的四脚标架拆分为空间和时间部分，并找出类高斯方程，可以为引力的不同表述建立一个通用基础。基于这些结果，推导出了一般的 $3$-四脚标架和 $3$-度规演化方程。最后，通过选择两种各自的联络，恢复了广义相对论的度规 $3+1$ 表述，以及遥平行广义相对论等价理论的四脚标架 $3+1$ 表述和对称遥平行广义相对论等价理论的度规 $3+1$ 表述。该方法原则上能够在基本层面上解决广义相对论各种表述的共同特征，并指出各种表述的扩展和替代方案可能呈现的特性。