O'Grady 模空间的 2-因子性

本文旨在证明 O'Grady 在 \cite{OG1} 中引入的模空间 $M_{10}$ 是一个 $2$-因子簇。即，$M_{10}$ 是射影 K3 曲面 $X$ 上具有 Mukai 向量 $v:=(2,0,-2)\in H^{ev}(X,\mathbb{Z})$ 的半稳定层的模空间。作为我们构造的一个推论，我们证明了 Donaldson 态射给出了 $v^{\perp}$（$X$ 的 Mukai 格点的子格点）与其在 $H^{2} (\widetilde{M}_{10},\mathbb{Z})$ 中的像之间的 Hodge 等距，其中 $H^{2} (\widetilde{M}_{10},\mathbb{Z})$ 是作为 $M_{10}$ 的辛解得到的 $10$ 维不可约辛流形 $\widetilde{M}_{10}$ 上关于 Beauville 形式的格点。对于 O'Grady 在 \cite{OG2} 中引入的模空间 $M_{6}$，我们得到了类似的结果。