射影空间与Grasmannian乘积的连通性定理

设 $G$ 为Grasmannian $G(d,n)$，设 $X$ 和 $Y$ 为完整不可约流形，设 $X\to G$ 和 $Y\to G$ 为态射。Hansen 已证明当 $codim f(X) + codim g(Y) < n$ 时，$X \times_G Y$ 是连通的。我们表明若满足 $f(X).g(Y).T \ne 0$（其中 $T$ 为 $G(d,n-1)$ 在 $G$ 中的类），则结论仍成立。这一假设常比前者弱。我们也证明了当 $G$ 为射影空间乘积时类似的结果。特别地，若 $D$ 为维数为 $n$ 的射影空间 $P^n \times P^n$ 中的不可约子流形，且支配两个因子，若 $X$ 完整不可约，且态射 $f: X \to P^n \times P^n$ 满足 $dim f(X) >n$，则 $f^{-1}(D)$ 是连通的。这扩展了经典的Fulton-Hansen连通性定理。这些结果说明Fulton和Lazarsfeld的观点：连通性应为数值性质。