关于齐次簇的无穷小刚性

设 $X\subset P^N$ 是一个簇（或解析子流形的一块），并设 $x\in X$ 是一个一般点。我们证明，如果 $X$ 在 $x$ 处的射影第二基本形式同构于塞格雷 $P^n\times P^m$（$n,m\geq 2$）、格拉斯曼 $G(2,n+2)$（$n\geq 4$）或凯莱平面 $OP^2$ 上某点的第二基本形式，则 $X$ 是相应的齐次簇（或相应齐次簇的一块）。如果 $X$ 在 $x$ 处的射影第二基本形式同构于韦罗内塞 $v_2(P^n)$ 上某点的第二基本形式，且 $X$ 在 $x$ 处的富比尼三次形式为零，则 $X=v_2(P^n)$（或 $v_2(P^n)$ 的一块）。所有这些结果在实或复解析范畴中成立，若假设这些性质在任意点 $x$ 的邻域内成立，则在 $C^{\infty}$ 范畴中局部成立。作为副产品，我们证明二次曲面系 $I_2(P^{m-1}\sqcup P^{n-1})$、$I_2(P^1\times P^{n-1})$ 和 $I_2(S_5)$ 是稳定的，即若 $A_t\subset S^2T^*$ 是一个解析族，使得对 $t\neq 0$ 有 $A_t\simeq A$，则 $A_0\simeq A$。我们还做了一些与富尔顿-汉森连通性定理相关的观察。