射影流形第二基本形式的刚性

设 $M$ 为 $\mathbb{P}^{n+r}$ 中的复 $n$ 维射影流形，赋予常全纯截面曲率 $1$ 的 Fubini-Study 度量，$\sigma$ 为其第二基本形式，$\underline{|\sigma|}^2$ 为 $\sigma$ 在 $M$ 上长度平方的均值。我们导出 $\underline{|\sigma|}^2$ 的公式，并在 $\underline{|\sigma|}^2\leq2n$ 时对其分类。我们给出这些结果的若干应用。第一个应用是证实 Loi 与 Zedda 的一个猜想，该猜想通过 $\sigma$ 的 $L^2$-范数刻画线性子空间与二次曲面。第二个应用是改进 Cheng 的一个结果，将 Oguie 的一个旧猜想从点态情形推进到均值情形。第三个应用是给出 $\underline{|\sigma|}^2$ 的最优第二间隙值，可视为单位球中极小子流形相应结果的复类比。