上层上同调的生成器

设 $R$ 为一个交换的 noetherian 环，$f: X \to \mathrm{Spec} R$ 为相对维数为 $n$ 的proper smooth 态射。从 Hartshorne、Residues and Duality, Springer, 1966, 我们知道当 $f$ 的几何fiber连通时，迹图 $\mathrm{Tr}_f : \mathrm{H}^n(X, \omega_{X/R}) \to R$ 是同构。我们构造一个精确序列，用于在以下情况下的 $R$-模生成 $\mathrm{Ext}_X^n(\mathcal{O}_X, \omega_{X/R}) = \mathrm{H}^n(X, \omega_{X/R})$：(1) 当 $R$ 为 DVR 且 $f$ 有一section时；(2) 当 $R=\mathbb{Z}$ 且 $X$ 为Grassmannian $G_{2,m}$（其中 $m \geq 4$）时。这部分回答了 Lipman 提出的问题。