非主理想的测试理想：计算、跳跃数、变更与除法定理

给定特征 $p > 0$ 的 (log) $Q$-Gorenstein $F$-有限环 $R$ 中的一个理想 $a \subseteq R$，我们研究并为实数 $t > 0$ 的测试理想 $\tau(R, a^t)$ 提供了新的视角。推广主理想情形下的许多已知结果，我们展示了如何有效计算测试理想，并利用 (正则) 变更 (alterations) 描述了 $\tau(R, a^t)$，其公式类似于特征零中的乘子理想。我们进一步证明了当 $t$ 变化时，$\tau(R, a^t)$ 的 $F$-跳跃数是有理数且没有极限点，其中包括 $R$ 为形式幂级数环这一重要情形。此外，我们获得了与特征零中 Ein 和 Lazarsfeld 的结果相关的测试理想的全局除法定理，并恢复了 Skoda 测试理想定理的新证明，该证明直接模仿了乘子理想的证明过程。