三元“四元数”与三元TU(3)代数

为了按照Hamilton的方式构造三元“四元数”，我们必须引入两个“虚”单位$q_1$和$q_2$，其性质为$q_1^n=1$和$q_2^m=1$。一般情况相当困难，我们考虑$m=n=3$的情形。这个例子给出了像Hamilton四元数中那样的非阿贝尔群。Hamilton四元数帮助我们发现了$SU(2)=S^3$群以及$L(2,C)$群。在三元情形中，我们找到了U(3)的推广，称之为$TU(3)$群，并且还发现了SL(3,C)群。在矩阵语言中，我们从二元Pauli矩阵过渡到三维九矩阵，称为九元数。这一途径是由对所有m=3,4,...的$CY_m$空间的代数分类所开创的，其中在自反Newton多面体中我们发现了Berger图，这些图在相应的Cartan矩阵中给出了最长的单根$B_{ii}=3,4,..$，而二元代数中Cartan对角元素等于2，即$A_{ii}=2$。