2-幂零有限生成无挠群的张量完备化

本文研究在二项式整环 $R$ 上的 $R$-指数 2-幂零群的拟簇 $\mathcal{N}_{2,R}$ 中，有限生成的无挠 2 类幂零群 $G$ 的张量完备化 $G \otimes_{\mathcal{N}_{2,R}} R$。我们证明经典的 Hall 完备化 $G\otimes_{\mathcal{H}} R$ 作为一个抽象群（该嵌入不是 $R$-同态）嵌入到 $G \otimes_{\mathcal{N}_{2,R}} R$ 中，使得 $G\otimes_{\mathcal{N}_{2,R}} R \simeq (G \otimes_{\mathcal{H}} R) \times D$，其中 $D$ 是一个 $R$-模，且该直积是抽象群的直积（而非 $R$-群！）。特别地，典范的 $R$-满同态 $\mu: G \otimes_{\mathcal{N}_{2,R}} R \to G \otimes_{\mathcal{H}} R$ 是 $G \otimes_{\mathcal{H}} R$ 上的一个收缩，其核 $D$ 是阿贝尔群。此外，除了代数结构，我们还精确描述了在群 $G \otimes_{\mathcal{N}_{2,R}} R$ 中如何计算 $R$-指数幂。为此，我们引入了一种新型换位子，即所谓的 c-换位子，它本身也值得关注。这些结果回答了 Remeslennikov 关于拟簇 $\mathcal{N}_{2,R}$ 中自由 2-幂零 $R$-群的代数结构的一个老问题。事实上，文献 \cite{AMN} 已证明，若 $G 是以$X$为基的自由 2-幂零群（在抽象 2-幂零群簇中），则$G \otimes_{\mathbb{N}_{2,R}} R$是$\mathcal{N}_{2,R}$中以$X$为基的自由 2-幂零$R$-群。注意在此情形下，$G \otimes_{\mathcal{H}} R$是以$X$为基的自由 2-幂零 Hall$R$-群。作为示例，对于秩为 2 的自由 2-幂零群$G$，我们描述了群$G \otimes_{\mathcal{N}_{2,R}} R$、$R$在$G \otimes_{\mathcal{H}} R$上的作用，以及当$R$为多项式环$\mathbb{Q}[t]$或有理函数域$\mathbb{Q}(t)$（系数在有理数域$\mathbb{Q}$中）时模$D$ 的结构。