偏序集的Taxotopy理论 I: van Kampen定理

给定小范畴之间的函子 $F,G:\mathcal C\to\mathcal D$，何时可以说 $F$ 能以不一定可逆的方式“连续形变”为 $G$？为尝试用纯范畴论语言回答此问题，我们利用伴随来定义函子集 $\mathcal C\to\mathcal D$ 上的‘taxotopy’预序 $\preceq$，并将此数据组合为一个‘基本偏序集’ $(\Lambda(\mathcal C,\mathcal D),\preceq)$。本文的主要研究对象是偏序集 $P$ 的基本偏序集 $\Lambda(\mathbf 1,P)$ 和 $\Lambda(\mathbb Z,P)$，其中 $\mathbf 1$ 是单点偏序集，$\mathbb Z$ 是整数有序集；它们分别编码了 $P$ 的点与链的taxotopy数据。借鉴同伦论的直观，我们展示了合适的锥构造产生‘零-taxotopic’偏序集，并证明了两种形式的van Kampen定理，用于通过偏序集的覆盖计算基本偏序集。