Catalan 路径理想的 Gröbner 基

对于 char($\mathbb F$) = 0 时 $R = {\mathbb F}[y_1, \dots , y_n]$ 中的理想 $I = \langle y_1 + \dots + y_n, y^2_1, \dots , y^2_n \rangle$，我们证明在字典序下的约化 Gröbner 基由多项式 $g_\alpha$ 组成，这些多项式用笛卡尔平面中向东北移动、始终位于对角线之上并在最后一步跨越对角线的路径表示。这意味着商环 $R/I$ 的一组线性基由一组 Catalan 路径给出。我们证明该维数等于大小为 $n$ 且高度至多为二的半标准 Young 表的数量。$R/I$ 作为对称群模的分次 Frobenius 特征由 $\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor } s_{n-k,k}q^k$ 给出。