Oracle支持的Gröbner阶梯绘制

本文旨在讨论以下相当奇特的问题：\n给定\ni) 自由非交换多项式环 ${\Cal P} := {\Bbb F}\langle X_1,\ldots,X_n\rangle$ (公开)，\nii) 双边理想 ${\sf I}\subset {\Bbb F}\langle X_1,\ldots,X_n\rangle$ (私有)，\niii) 理想 ${\sf I}$ 的有限元素集 $G := \{g_1,\ldots,g_l\}\subset{\sf I}$ (公开)，\n一个Noetherian半群项序 $\prec$ (私有)，在词半群 ${\Cal T} := < X_1,\ldots,X_n>$ 上，\n计算\n-- 关于 $\prec$ 的 ${\sf I}$ 的Gröbner基 $\Gamma({\sf I})$ 的有限子集 $H\subset\Gamma({\sf I})$，使得对于每个 $g_i\in G$，其关于 $H$ 的范式 $NF(g_i,H)$ 为零，\n“通过有限次向oracle查询”，该oracle给定项 $\tau\in{\Cal T}$，返回其关于理想 ${\sf I}$ 和项序 $\prec$ 的典范形式 $\Can(\tau,{\sf I},\prec)$。\n这个奇特问题是由Bulygin (2005)向我们提出的，其中为了对Rai (2004)提出的密码系统发起选择密文攻击，面临了一个类似但假设更强的问题。