塞瓦几何的综合基础，I：三角形几何中仿射映射的不动点

我们给出了三角形几何中许多新结果的综合证明，特别关注某些仿射映射的不动点，这些仿射映射是根据给定三角形$ABC$中点$P$的塞瓦三角形$DEF$，以及$P$关于$ABC$的等截共轭$P'$的塞瓦三角形定义的。我们利用纯综合论证证明了环塞瓦映射用等截映射和等角映射表示的公式，并展示了等截共轭$P'$的补点$Q$具有许多有趣性质。若$T_P$是将$ABC$映射到$DEF$的仿射映射，我们综合地证明当$P$为不位于三角形$ABC$的边、其反补三角形或$ABC$的Steiner外接椭圆上的任意点时，$Q$是$T_P$的唯一普通不动点。我们还证明了若$Q'$是$P$的补点则有$T_P(Q')=P$，且仿射映射$T_P T_{P'}$要么是位似要么是平移，并总以$Q$的$P$-塞瓦共轭为不动点。最后，我们证明$P$位于Steiner外接椭圆上当且仅当$T_PT_{P'}=K^{-1}$，其中$K$是$ABC$的补映射。本文作为后续数篇论文的基础，后续将研究五点$A,B,C,P,Q$上的圆锥曲线，并将其圆心刻画为映射$\lambda=T_{P'} T_P^{-1}$的不动点。