塞瓦几何的综合基础，III：广义垂心

在本文（本系列的第三篇）中，我们定义对应于点 $P$ 关于三角形 $ABC$ 的广义垂心 $H$，作为唯一的点，使得直线 $HA, HB, HC$ 分别平行于 $QD, QE, QF$，其中 $DEF$ 是 $P$ 的塞瓦三角形，且 $Q=K \circ \iota(P)$ 是 $P$ 的等截补（isotomcomplement），两者均关于 $ABC$。我们证明了一个广义 Feuerbach 定理，并将第二部分定义的塞瓦圆锥曲线 $\mathcal{C}_P$ 的中心 $Z$ 刻画为仿射映射 $\Phi_P = T_P \circ K^{-1} \circ T_{P'} \circ K^{-1}$ 的中心，其中 $T_P$ 是满足 $T_P(ABC)=DEF$ 的唯一仿射映射；$T_{P'}$ 类似地定义于 $P$ 的等截共轭 $P'=\iota(P)$；$K$ 是补映射。仿射映射 $\Phi_P$ 固定 $Z$ 并将四边形 $ABCH$（关于无穷远直线）的九点圆锥曲线 $\mathcal{N}_H$ 变为内接圆锥曲线 $\mathcal{I}$，后者定义为在 $D, E, F$ 点切于 $ABC$ 边的唯一圆锥曲线。因此点 $Z$ 是九点圆锥曲线 $\mathcal{N}_H$ 与内接圆锥曲线 $\mathcal{I}$ 相接触的点。该定理推广了通常的 Feuerbach 定理，并适用于点 $P$ 不在中线上的所有情况，无论涉及的圆锥曲线是椭圆、抛物线还是双曲线，且当 $Z$ 为无穷远点时也成立。我们还确定了广义垂心 $H$ 与 $ABC$ 的某个顶点重合的点 $P$ 的轨迹；该轨迹结果是三个圆锥曲线的并集减去六个点。我们所有的证明都是综合的，并结合了仿射与射影论证。