$G$-空间与群的 syndetic 次测度及划分

我们证明，对于任意数 k，每个可数无限群 $G$ 都存在一个划分 $G=A\cup B$ 为两个集合，这两个集合在如下意义下是 $k$-贫乏的：对于任意 $k$ 元子集 $K\subset G$，集合 $KA$ 和 $KB$ 都不是厚集。该证明基于 $G$ 拥有 syndetic 次测度这一事实，即存在一个左不变次测度 $\mu:\mathcal P(G)\to[0,1]$，使得对于每个 $\epsilon > 1/|G|$ 和满足 $\mu(A)<1$ 的子集 $A\subset G$，存在一个集合 $B\subset G\setminus A$ 使得 $\mu(B)<\epsilon$，且对于某个有限子集 $F\subset G$ 有 $FB=G$。