Kuramoto 环上的同步振荡及其在周期驱动下的牵引

我们考虑有限数量的耦合振子，作为振荡子群体的 Kuramoto 模型的一种改编。同步解由整数 $m$（卷绕数）和第二个整数 $l$ 表征。类型为 ($m$, $l=0$) 的同步解都是稳定的，并给出了这些解在耦合常数 $K$ 较大时的显式微扰表达式。对于较小的 $K$，这些解出现在某些特定值处，每个解都与一个类型为 ($m$, $l=1$) 的解合并，这两个解在 $K$ 接近相关值时都是稳定的。($m$, 0) 解在 $K$ 较大时继续保持稳定，而 ($m$, 1) 解在 $K$ 延拓中变得不稳定，然后与一种新的（具有不同 $m$ 和 $l$ 的）不稳定解合并。大 $K$ 下的 ($m$,0) 类型解本质上是沿环行进的相位波。所有稳定的同步解都会被外部周期驱动所牵引，前提是驱动频率足够接近同步群体的频率。概述了一种用于构造牵引解的微扰方法。对于给定的驱动振幅，存在一个最大失谐量，超过该值牵引解便不再存在。讨论了牵引解的稳定性问题。详细研究了涉及三个振子的最简单情况，其中同步的起始通过某个临界 $K$ 值处的切分岔出现。在第一个同步解出现之前，系统表现出间歇性混沌，具有层流相持续时间的典型标度。在适当限制失谐量的周期驱动下，混沌解会发生牵引。