辛横截性与 Pego-Weinstein 理论

本文研究哈密顿 PDE 孤立波解的线性稳定性问题。线性稳定性问题用 Evans 函数表述，即记为 $D(\lambda)$ 的复解析函数，其中 $\lambda$ 为谱参数。主要结果是在 Pego & Weinstein (1992) 导数公式中引入一个新因子，记为 $\Pi$：$$D''(0) = \chi \Pi \frac{dI}{dc}\,,$$ 其中 $I$ 为孤立波动量，$c$ 为速度。此外，该因子被证明与建模为同宿轨道的孤立波的横截性相关：同宿轨道被横截构造当且仅当 $\Pi\neq 0$。$\Pi$ 的符号是一个辛不变量，是孤立波的内在属性，并且是影响线性稳定性的关键新因子。因子 $\chi$ 已由 Bridges & Derks (1999) 引入，基于孤立波的渐近性。一个支撑性结果是引入了一类建立在非线性 Dirac 型方程上的哈密顿 PDE 新抽象类，其可建模应用中的广泛 PDE。除 Dirac 算子外，该理论适用的例子包括流体力学与光学中的耦合模方程、massive Thirring 模型以及耦合非线性波方程。文中包含了对后一类孤立波解的 $D''(0)$ 计算以阐明该理论。