切比雪夫方法的对称性与动力学

所有保持有理映射 $R$ 的 Julia 集的全纯欧氏等距同构之集记为 $\Sigma R$。本文证明，若求根方法 $F$ 满足缩放定理，即对于多项式 $p$，$F_p$ 与 $F_{\lambda p \circ T}$ 仿射共轭，其中 $\lambda$ 为任意非零复数、$T$ 为任意仿射映射，则对于次数至少为二（且非单项式）的中心多项式 $p$，有 $\Sigma p\subseteq \Sigma F_p$。由于切比雪夫方法满足缩放定理，我们有 $\Sigma p \subseteq \Sigma {C_p}$，其中 $p$ 为中心多项式。本文其余部分致力于探究等号成立的情形，并在此过程中考察 $C_p$ 的动力学。我们证明 $C_p$ 的 Julia 集 $\mathcal{J}(C_p)$ 绝不可能是直线。若中心多项式 $p$ 满足以下之一：(a) 单临界的，(b) 恰有两个同重数的根，(c) 三次且 $\Sigma p$ 非平凡，或 (d) 四次、$0$ 为 $p$ 的根且 $\Sigma p$ 非平凡，则证得 $\Sigma p = \Sigma C_p$。在所有这些情形中，均发现 $C_p$ 的 Fatou 集 $\mathcal{F}(C_p)$ 是 $C_p$ 对应于 $p$ 各根的所有吸引域之并，且 $\mathcal{J}(C_p)$ 连通。并观察到在所有这些情形中 $\mathcal{J}(C_p)$ 均局部连通。