松弛牛顿法作为根寻求方法族：动力学与收敛性
动力系统
2026-03-13 v1
摘要
松弛牛顿法是一族具有参数的根寻求方法，概括了经典牛顿法。当将其视为在黎曼球面上的有理映射时，该族 exhibits rich and subtle global dynamics，这些动力学取决于底层多项式以及松弛参数。本文我们调查与复多项式相关的松弛牛顿映射的复杂动力学行为。我们首先以其固定点的乘子来刻画松弛牛顿映射所产生的有理映射。我们的主要结果识别了若干明确的多项式类，其中松弛牛顿法对所有参数h均为收敛的，即Fatou集恰好由根的吸引域组成。我们进一步表明，这种良好行为并不普遍：对于任何固定的松弛参数h∈{z:|z-1|<1},都存在一个通用的三次多项式，其松弛牛顿映射 fails to be convergent。其他结果包括对Julia集是否为直线的完整刻画、对由旋转不变性引起的对称群的分析，以及确保所有直接吸引域无界的充分条件。
引用
@article{arxiv.2603.11591,
title = {Relaxed Newton's Method as a Family of Root-finding Methods: Dynamics and Convergence},
author = {Soumen Pal},
journal= {arXiv preprint arXiv:2603.11591},
year = {2026}
}
备注
20 pages, 5 figures