具有旋转对称性的有理映射的 Julia 集

多项式 Julia 集的对称性，也称为多项式 Julia 集对称性，是指保持 Julia 集不变的欧几里得等距。每个这样的对称性实际上是关于多项式质心的旋转。本文首先对多项式 Julia 集的对称性进行了综述。然后，考虑了保持有理映射 Julia 集的欧几里得等距。保持有理映射 Julia 集的旋转称为其 Julia 集的旋转对称性。当有理映射具有例外点时，我们给出了该有理映射具有旋转对称性的一个充分条件。我们提供了两类有理映射，其 Julia 集具有有限阶旋转对称性。利用这一点，我们证明了对于所有满足 $m\geq 2$ 且 $\lambda \in \mathbb{C}\setminus \{0\}$ 的 $m,n$，映射 $z\mapsto \mu z$（其中 $\mu^{m+n}=1$）是 McMullen 映射 $z^m+\frac{\lambda}{z^n}$ 的一个旋转对称性。假设一个规范化多项式在原点有一个单根，我们证明了该多项式的旋转对称性群与其牛顿法和切比雪夫法的旋转对称性群相同。