C^2 的多项式微分同胚:VI. J 的连通性

给定多项式微分同胚 f: C^2 -> C^2,存在集合 $J_f\subset{\bf C}^2$,我们称之为 f 的 Julia 集。集合 $J_f\subset C^2$ 起着 C 的多项式映射的 Julia 集 $J\subset{\bf C}$ 的作用。在 C 的多项式映射研究中,Julia 集的连通性受到大量关注。本文重点是考察 C^2 的多项式微分同胚情形下的 J-连通/J-不连通二分法。f 的雅可比行列式为常数。我们作常设假设 $|det\ Df|\le 1$(必要时总可用 $f^{-1}$ 替代 f 来实现)。集合 $J^-$ 为具有有界向后轨道的点集。集合 $U^+$ 为具有无界向前轨道的点集。设 p 为周期鞍点,$W^u(p)$ 为其不稳定流形。集合 $W^u(p)$ 将是一个共形等价于 C 的黎曼面。定理 1. 以下条件等价:1. 对某个周期鞍点 p,$W^u(p)\cap U^+$ 的某分支单连通。2. 集合 $J^-\cap U^+$ 具有由单连通叶构成的层状结构,使得对任意周期鞍点 p,$W^u(p)\cap U^+$ 的每一分支都是该层状结构的一片叶。3. 对任意周期鞍点 p,$W^u(p)\cap U^+$ 的每一分支都单连通。若 f 满足这些条件之一,称 f 为不稳定连通的。定理 2. 集合 J 连通当且仅当 f 不稳定连通。这些结果意味着我们可以通过考虑单个不稳定流形中点的向前轨道来判定 J 的连通性。这些结果为二维 Julia 集的拓扑及参数空间中连通性轨迹的计算机探索打开了大门。