排列的对称多重集

以下组合数学中长期存在的问题由 Gessel 和 Reutenauer 于 1993 年首次提出：对于对称群 $\fS_n$ 的哪些多重子集 $B$，拟对称函数 $$Q(B) = \sum_{\pi \in B}F_{\Des(\pi), n}$$ 是一个对称函数？这里 $\Des(\pi)$ 是 $\pi$ 的下降集，而 $F_{\Des(\pi), n}$ 是 Gessel 为拟对称函数向量空间构建的基本基。本文旨在提供这些多重集的一个有用刻画。利用这一刻画，我们证明了 Elizalde 和 Roichman 的一个猜想。文中还给出了另外两个推论。第一个推论是共轭类为对称集的一个简短新证明，这是一个由 Gessel 和 Reutenauer 首次证明的著名结果。我们的第二个推论提供了一个统一解释，即对称多重集通过逆 $J$-类进行的左乘和右乘都是对称的。右乘的情形由 Elizalde 和 Roichman 首次证明。