Eulerian 拟对称函数与偏序集拓扑

我们引入了一类称为\emph{Eulerian 拟对称函数}的拟对称函数族，其特性是可特化为固定循环型排列上排列统计量（主指数和超出数）联合分布的计数生成函数。该函数族类似于 Gessel 和 Reutenauer 用于研究固定循环型排列上主指数和下降数联合分布的拟对称函数族。我们的核心结果是 Eulerian 拟对称函数生成函数的公式，该公式可特化为 Eulerian 多项式指数生成函数经典公式的一个新颖且令人惊讶的 $q$-类比。该 $q$-类比计算了超出数和主指数的联合分布，这是四个重要的 Euler-Mahonian 分布中唯一尚未被计算的分布。我们对 Eulerian 拟对称函数的研究还产生了包含下降统计量并细化 Gessel 和 Reutenauer 结果的结果。我们还获得了关于 Eulerian 多项式对称性和单峰性的经典结果的 $q$-类比、$(q,p)$-类比和拟对称函数类比。我们的 Eulerian 拟对称函数细化了出现在各种表示论和枚举背景中的对称函数，例如 MacMahon 对多重集错排的研究、Procesi 和 Stanley 关于 Coxeter 复形环面簇的工作，以及 Stanley 关于对称色多项式的工作。在此，我们提出了另一个与 Bj"orner 和 Welker 引入的偏序集的同调相关的出现情形。