负能量下各向异性 N 中心问题的符号动力学

平面 N 中心问题描述了粒子在 N 个固定吸引中心力场作用下的平面运动：$$\ddot{x}(t)=\sum_{j=1}^N\nabla V_j(x-c_j).$$ 本文证明了在略负能量下的一类 N 中心问题的符号动力学，其中势函数 V_j 为正、各向异性且为 -\alpha_j 次齐次：$$V_j(x)=|x|^{-\alpha_j}V_j\left(\frac{x}{|x|}\right).$$ 证明基于折 geodesic（测地线）论证，轨迹为莫佩尔蒂（Maupertuis）泛函的极值曲线。与具有开普勒势的经典 N 中心问题相比，主要困难源于奇点缺乏正则化。我们将同时考虑碰撞动力学与非碰撞动力学。符号描述了相关轨迹的几何与拓扑特征。