超几何型与非全纯幂级数的符号计算

对于给定的正整数 $m$，若比值 $a_{n+m}/a_n$ 是特征零的域 $K$ 上的有理函数，则项 $a_n$ 称为 $m$ 重超几何的。我们建立了具有多项式系数的线性齐次递推方程（即全纯递推方程）在 $K$ 上以 $m$ 重超几何项为其解的结构，其中 $m$ 为任意正整数。据此，我们描述了一个算法 $mfoldHyper$，它推广了 van Hoeij 的算法（1998），后者计算全纯递推方程的超几何（即 $m=1$）项解的子空间的一组基，而本算法将其推广到更一般的 $m$ 重超几何项情形。我们通过考虑系数为 $m$ 重超几何项的 Laurent-Puiseux 级数的线性组合，推广了 Koepf（1992）引入的超几何型幂级数的概念。因此，借助 $mfoldHyper$，我们推导出计算这些幂级数的完整流程；事实上，对于有限多个 $m$ 值，所有具有 $m$ 重超几何项系数的幂级数的线性组合均能被识别。另一方面，我们研究了一种表示非全纯函数幂级数的算法。该算法遵循与 Koepf 算法相同的步骤，但不再寻求全纯微分方程，而是计算二次微分方程，并利用柯西乘积法则推导幂级数系数的递推方程。该算法定义了一个正规函数，它与足够的初值一起为许多非全纯函数的幂级数给出正规形。因此，利用该方法可自动证明非平凡恒等式。本文附有在计算机代数系统（CAS）Maxima 5.44.0 和 Maple 2019 中的实现。