关于非全纯一元幂级数的表示

全纯函数在计算机代数中起着重要作用，因为它们允许应用许多符号算法。在所有为幂级数寻找公式的算法尝试中，全纯性质仍是所考虑函数必须满足的最重要要求。目标函数主要概括为亚纯函数。然而，诸如$\tan(z)$、$z/(\exp(z)-1)$、$\sec(z)$等表达式，特别是全纯函数的倒数、商与复合，一般不是全纯的。因此它们的幂级数无法由全纯框架处理。从数学辞典中可观察到，大多数已知的非全纯幂级数闭式公式涉及另一序列，其求值依赖于某些有限求和。在$\tan(z)$与$\sec(z)$的情形中，相应序列分别为伯努利数与欧拉数。因此，当非全纯函数幂级数系数出现线性求和时，提供一种产生完整表示的符号方法，可视为朝向非全纯幂级数表示的一步进展。通过改造带待定系数的拟设方法，我们构建了一种算法，为大类非全纯函数计算具有多项式系数的最小阶二次微分方程。由该过程得到的微分方程通过应用柯西乘积公式并将幂改写为多项式、导数改写为移位而转换为递推方程。最后，利用足够初值，我们能够提供范式表示以刻画若干非全纯幂级数并证明非平凡恒等式。我们讨论了该算法及其在Maple 2022中的实现。