经典 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{C})$ Chern-Simons 理论的手术演算

经典 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{C})$-Chern-Simons 理论将带表示 $\rho : \pi_1(M) \to \operatorname{SL}_2(\mathbb{C})$ 的 $3$-流形 $M$ 赋予其复体积 $\operatorname{V}(M, \rho) \in \mathbb{C} / 2 \pi^2 i \mathbb{Z}$，其实部为体积，虚部为 Chern-Simons 不变量。现有文献聚焦于使用三角剖分计算 $\operatorname{V}$。在本文中，我们展示如何直接从手术图计算 $\operatorname{V}(M, L, \rho)$，其中 $M$ 为带环面边界分支、嵌入尖点 $L$ 以及表示 $\rho : \pi_1(M \setminus L) \to \operatorname{SL}_2(\mathbb{C})$ 的紧定向 $3$-流形。当 $M$ 具有非空边界时，$\operatorname{V}(M, L, \rho)(\mathfrak{s})$ 依赖于某些额外数据 $\mathfrak{s}$，我们称之为对数装饰。我们的方法在与量子群密切相关的坐标系下描述 $\rho$，并将我们的构造视为 Witten-Reshetikhin-Turaev 量子 $\operatorname{SU}(2)$ Chern-Simons 理论的经典非紧版本。