关于伪随机集族的复杂度

本文关注如下问题：设 $p$ 为素数，$S\subset \F_p$ 且 $\cP\subset \{P\in\F_p [X]:\deg P\le d\}$。满足对所有子集 $\cA, \cB \subset \F_p$，若 $\cA\cap\cB =\emptyset$ 且 $|\cA\cup\cB |=k$，则存在 $P\in\cP$ 使得当 $x\in\cA$ 时 $P(x)\in S$ 且当 $x\in\cB$ 时 $P(x)\not\in S$ 的最大整数 $k$ 是多少？该问题对应于某些伪随机子集族的复杂度研究。首先，我们回顾该复杂度定义及伪随机子集的背景。随后，我们根据所考虑的集合 $S$ 和 $\cP$ 的形状陈述所得的不同结果。部分证明基于有限域中指数和或特征和的上界，其他证明则使用了组合学与加性数论。