Colombeau 广义数非阿基米德环中的上确界、下确界与超极限

众所周知，Colombeau 广义数 $\widetilde{\mathbb{R}}$ 的序列在尖拓扑中的极限概念并不推广经典结果。例如序列 $\frac{1}{n}\not\to0$，且序列 $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ 收敛当且仅当 $x_{n+1}-x_{n}\to0$。这有几个深远的影响，例如在级数、解析广义函数或广义函数积分中的 sigma-可加性与经典极限定理的研究中。这些结果的缺失也联系于如下事实：$\widetilde{\mathbb{R}}$ 必然不是完备有序集，例如所有无穷小量的集合既无上确界也无下确界。我们通过引入超自然数、超序列、贴近上确界与下确界的概念，给出这些问题的一种解决方案。由此，我们可以推广关于超序列超极限的所有经典定理。本文探讨的思想可应用于其他非阿基米德环境。