复数域内的无限小元

我们指出复数域 $\mathbb C$ 包含非零无限小元，方法是观察到 $\mathbb C$ 包含非阿贝尔次子域。我们的观察基于代数中因E. Steinitz所著的旧定理，本文对其进行详细讨论。复数域中存在无限小元这一事实令作者和可能也令读者感到惊讶，因为 $\mathbb C$ 通常以阿贝尔域 $\mathbb R$ 为基础，而 $\mathbb R$ 是阿贝尔的。此外，一个额外的谜团来自于 $\mathbb R$ 历史上由Dedekind、Cauchy等人于19世纪引入的事实，恰恰是为了使 Leibniz-Newton 微积分中的无限小元变得冗余。看起来，数学永远无法摆脱无限小元——它们无论你喜欢与否都随时可见。在本文的最后一节中，我们解释了我们的结果如何融合到标准与非标准分析中。结合历代微积分史上的例子以及近期在分析学中取得的突破性成果，我们努力说服读者，复数域中存在无限小元可使其形式语言更简洁，提高其效率。我们的研究动机与尝试简化Colombeau泛函代数的特定性质有关，简要讨论于文中。