非阿基米德数学的一种拓扑方法

非阿基米德数学（特别是非标准分析）允许构造一些有用的模型来研究 PDE 中出现的某些现象；例如，它允许构造没有经典解的微分方程和变分问题的广义解。本文通过基本的拓扑方法引入了非阿基米德数学（特别是非标准分析）的某些概念；特别地，我们将实数的非阿基米德扩张构造为 $\mathbb{R}$ 的适当拓扑完备化。我们的方法基于实函数的 $\Lambda$-极限概念，称为 $\Lambda$-理论。它可以被视为对 \cite{BDN2003} 中提出的 $\alpha$-理论的拓扑推广，也是非标准扩张超幂构造（按 \cite{keisler} 的意义）的一种替代性拓扑表述。为了激发 $\Lambda$-理论在应用中的动机，我们展示了如何利用一类称为超函数的特定广义函数族，通过 $\Lambda$-理论来求解一个没有经典解的变分学极小化问题。