阿贝尔群中序列与域扩张中旗的和集

对于具有子集 $A$ 和 $B$ 的有限阿贝尔群 $G$，和集 $AB$ 为 $\{ab \mid a\in A, b \in B\}$。加性组合学中的一个基本问题是根据 $A$ 和 $B$ 的基数给出 $AB$ 基数的下界。本文处理阿贝尔群中序列与域扩张中旗的类似问题。对正整数 $n$，令 $[n]$ 表示集合 $\{0,\dots,n-1\}$。对基数为 $n$ 的有限阿贝尔群 $G$ 及一个排序 $G = \{1=v_0,\dots,v_{n-1}\}$，关联函数 $T \colon [n] \times [n] \rightarrow [n]$，定义为 $$T(i,j) = \min\big\{k \in [n] \mid \{v_0,\dots,v_i\}\{v_0,\dots,v_j\} \subseteq \{v_0,\dots,v_k\}\big\}.$$ 在自然的偏序下，当 $\{1=v_0,\dots,v_{n-1}\}$ 取遍基数为 $n$ 的有限阿贝尔群的各排序时，哪些函数 $T$ 是极小的？我们也对 $n$ 次域扩张提出类似问题。当 $n < 18$、$n$ 为素数幂或 $n$ 为两个不同素数之积时，我们显式分类所有极小 $T$。当 $n$ 不属上述情形时，我们显式构造阿贝尔群的排序，其关联函数 $T$ 不被上述分类包含。我们还向排序关联一个编码 $T$ 数据的多面体。