Brascamp-Lieb型不等式的平方和证明
计算复杂性
2017-10-09 v2 经典分析与常微分方程
摘要
Brascamp-Lieb不等式是分析、几何和信息论中的重要数学工具。证明Brascamp-Lieb不等式的方法多种多样，如热流方法、布朗运动以及熵的次可加性。虽然Brascamp-Lieb不等式最初是在欧几里得空间中提出的，但已有研究讨论了离散阿贝尔群上的Brascamp-Lieb不等式，以及马尔可夫半群上的Brascamp-Lieb不等式。许多数学不等式可以表述为代数不等式，即断言某个给定的多项式是非负的。1927年，Artin证明了任何非负多项式都可以表示为有理函数的平方和，这可以进一步表述为该多项式非负性的多项式证书。这就是不等式的平方和证明。将多项式证书的次数作为平方和证明的次数。平方和证明的次数决定了通过平方和算法生成此类证明的复杂度，而平方和算法是优化和计算机辅助证明的强大工具。在本文中，我们给出了某些特定设置下Brascamp-Lieb不等式的平方和证明，并讨论了Brascamp-Lieb不等式在阿贝尔群和欧几里得球面上的一些应用。如果不等式的原始描述具有常数次数且d为常数，则证明的次数也为常数。因此，低次平方和算法能够完全捕捉低次有限Brascamp-Lieb不等式的能力。
引用
@article{arxiv.1710.01458,
title = {Sum of Square Proof for Brascamp-Lieb Type Inequality},
author = {Zhixian Lei and Yueqi Sheng},
journal= {arXiv preprint arXiv:1710.01458},
year = {2017}
}