熵的次可加性及其与 Brascamp-Lieb 型不等式的关系

我们证明了一个一般的对偶结果，表明 Brascamp--Lieb 型不等式等价于一个表达熵次可加性的不等式，且最佳常数和等号成立情形完全对应。这通过熵的次可加性为证明 Brascamp--Lieb 型不等式开辟了新途径。我们通过证明一个表达 $\R^n$ 上熵次可加性性质的一般不等式并完全确定其等号成立情形，来说明该方法的效用。作为上述对偶性的推论，我们获得了经典 Brascamp--Lieb 不等式的一个简单新证明，并完全明确地确定了所有等号成立的情形。我们还推导出了该一般次可加性不等式的其他几个推论，包括行列式 Hadamard 不等式的推广。最后，我们还证明了第二个对偶定理，将 Fisher 信息的超可加性与 Schr"odinger 算子基本特征值的尖锐卷积型不等式联系起来。尽管本文主要关注 $\R^n$ 中随机变量的情形，我们也讨论了向其他设定的扩展。