通过算子缩放研究 Brascamp-Lieb 不等式的算法与优化方面

著名的 Brascamp-Lieb (BL) 不等式（及其扩展）是重要的数学工具，统一并推广了分析学、凸几何和信息论中的众多不等式。虽然其结构理论已非常完善，但关于计算其主要参数的知识却知之甚少。我们给出了多项式时间算法，用于计算 BL-数据的可行性、最优 BL 常数以及 BL 多胞形的弱分离预言机。同样的结果也适用于 Barthe 所谓的反向 BL 不等式。此前针对这些任务的最佳已知算法至少需要指数时间。这些算法是通过将给定的 BL-数据简单高效地归约为 Gurvits 定义的算子缩放问题实例而获得的，本文作者已为该问题提供了多项式时间算法。这种归约意味着许多已知结构结果的算法版本，并在某些情况下提供了与现有证明不同或更简单的证明。特别令人感兴趣的是，算子缩放算法在其输入上是连续的。因此，作为我们归约的一个简单推论，我们获得了关于 BL 常数大小及其相对于 BL-数据连续性的显式界限。据我们所知，此前尚无此类界限，因为过去的论证依赖于紧性。BL 常数的连续性对于开发最近发现有许多应用的非线性 BL 不等式至关重要。