任意维数下的对数平方和不等式

我们证明了\emph{对数平方和不等式}(SSLI)，该不等式表明对于非负向量 $x, y \in \mathbb{R}^n$，其初等对称多项式满足 $e_k(x)\le e_k(y)$（对于 $1\le k < n$）且 $e_n(x)=e_n(y)$，则有 $\sum_i (\log x_i)^2 \le \sum_i (\log y_i)^2$ 成立。我们对该不等式的证明通过对复平面的适当推广而得。特别地，我们证明了函数 $f\colon M\subseteq \mathbb{C}^n\to \mathbb{R}$，其中 $f(z)=\sum_i(\log z_i)^2$，关于 $z$ 的初等对称多项式具有非负偏导数。这一性质导致了我们的证明。最后我们给出了SSLI的应用及更广泛的联系。