平方对数和——一个联系正定矩阵及其矩阵对数的不等式
经典分析与常微分方程
2013-01-29 v1
摘要
设 y1, y2, y3, a1, a2, a3 > 0 满足 y1 y2 y3 = a1 a2 a3 且 y1 + y2 + y3 >= a1 + a2 + a3, y1 y2 + y2 y3 + y1 y3 >= a1 a2 + a2 a3 + a1 a3。则以下不等式成立 (log y1)^2 + (log y2)^2 + (log y3)^2 >= (log a1)^2 + (log a2)^2 + (log a3)^2。这也可以用实正定 3x3 矩阵 P1, P2 表述：若其行列式相等 det P1 = det P2，则 tr P1 >= tr P2 且 tr Cof P1 >= tr Cof P2 蕴含 norm(log P1) >= norm(log P2)，其中 log 为主矩阵对数，norm(P) 表示 Frobenius 矩阵范数。文中指出了在矩阵分析和非线性弹性力学中的应用。
引用
@article{arxiv.1301.6604,
title = {Sum of squared logarithms - An inequality relating positive definite matrices and their matrix logarithm},
author = {Mircea Birsan and Patrizio Neff and Johannes Lankeit},
journal= {arXiv preprint arXiv:1301.6604},
year = {2013}
}