Banach 空间中可观测性的充分条件与尖锐几何条件

设 $X,Y$ 为 Banach 空间，$(S_t)_{t \geq 0}$ 为 $X$ 上的 $C_0$-半群，$-A$ 为 $X$ 上相应的无穷小生成元，$C$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的有界线性算子，且 $T > 0$。我们考虑系统 $$\dot{x}(t) = -Ax(t), \quad y(t) = Cx(t) \quad t\in (0,T], \quad x(0) = x_0 \in X.$$ 我们给出充分条件，使得该系统满足 $L_r ((0,T) ; Y)$ 中的终态可观测性估计，$r \in [1,\infty]$。这些充分条件由不确定性关系和耗散估计给出。我们的方法统一并推广了此前在 Hilbert 空间背景下所得结果的各自优势。作为一个应用，我们考虑 $A$ 为 $L_p(\mathbb{R}^d)$（$1<p<\infty$）中的椭圆算子，且 $C = \mathbf{1}_\omega$ 为到厚集 $\omega \subset \mathbb{R}^d$ 上的限制这一例子。在此情形下，我们证明上述系统满足终态可观测性估计当且仅当 $\omega \subset \mathbb{R}^d$ 为厚集。最后，我们利用可观测性与预对偶系统零能控性之间的已知关系，并研究相应控制代价的界。