矩阵 $C^*$-代数中的罗塔-巴克特算子研究：以 Toeplitz 结构为动机及滑动模控制应用

本文研究作用于矩阵 $C^*$-代数 $M_n(\mathbb{C})$ 上的罗塔-巴克特算子，灵感来自离散 Toeplitz 代数（其作用纯属启发性；见 Remark~\ref{rem:toeplitz_scope}）。我们对符合 $C^*$-范数要求的此类算子进行结构分类，分析其诱导的 Lie 括号，并将其应用于离散时延系统中的滑动模控制，以变形系统矩阵。Lyapunov 基于的双线性矩阵不等式条件，联合通过 $Q=X^{-1}$ 的可处理线性重构，保证在滑动流形上的渐近稳定性以及 $\mathcal{L}_2$-增益稳定性。从不确定性 $\delta$ 到状态 $x$ 的有效增益为 $\gamma/\sqrt{\mu}$，其中 $\mu=\lambda_{\min}(-\mathcal{M})>0$ 需在事后确定；仅最小化 $\gamma$ 并不最小化此界限，这在零扩展初始条件($V_0=0$)下成立。我们采用默认假设 $m=n$（方阵驱动）；另附一个 $m=1$, $n=2$ 的非退化例子说明 LMIs 的可行性与 $\Pi\neq0$。所有代数结果均直接在 $M_n(\mathbb{C})$ 中证明；未使用无穷维化简。