用于神经退行性疾病数值建模的结构保持多面体间断 Galerkin 方法

许多神经退行性疾病与错误折叠朊蛋白的扩散有关。本文中，我们分析与帕金森病和阿尔茨海默病分别相关的 $\alpha$-synuclein 与 Amyloid-$\beta$ 的错误折叠与扩散过程。我们引入并分析一种保正数值方法，用于离散化刻画朊蛋白积累与扩散的 Fisher-Kolmogorov 方程。所提出的近似方法基于多边形与多面体网格上的间断 Galerkin 方法进行空间离散，并采用 $\vartheta-$ 方法时间积分格式。我们证明了离散解的存在性，以及采用隐式欧拉格式进行时间积分时的收敛结果。我们表明所提方法具有结构保持性，即它保证离散解非负，这一特性在实际应用中至关重要。我们的数值模型验证通过使用构造解以及考虑二维多边形网格上的波前传播来完成。接下来，我们展示 $\alpha$-synuclein 在矢状面二维脑切片中的扩散模拟。该模拟的多边形网格在保持白质与灰质区分的前提下进行聚合，利用了 PolyDG 方法在网格构建上的灵活性。最后，我们通过使用从磁共振图像重建的三维几何以及从正电子发射断层扫描重建的初始条件，在患者特异性设定下模拟 Amyloid-$\beta$ 的扩散。我们的数值模拟确认所提方法能够捕捉帕金森病与阿尔茨海默病的演化。