二元多项式在无穷远处的牛顿树结构

设 $f:\mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}$ 为一个多项式映射。设 $\mathbb{C}^2 \subset X$ 为 $\mathbb{C}^2$ 的一个紧化,其中 $X$ 为光滑有理紧曲面,且存在一个概形态射 $\Phi :X\to \mathbb{P}^1$ 扩张 $f$。令 $\mathcal{D}=X\setminus \mathbb{C}^2$;$\mathcal{D}$ 是一条曲线,其不可约分支为光滑有理紧曲线,且其所有奇点均为普通二重点。$\mathcal{D}$ 的对偶图是一棵树。我们关注此树,并依据 $f$ 的generic fiber的亏格分析其复杂性。