平面FK渗流与Potts模型的吉布斯测度结构

我们证明，$\mathbb{Z}^2$ 上 $q$ 态 Potts 模型的所有吉布斯测度均为在自由或单色边界条件下作为热力学极限得到的极值测度的线性组合。特别地，所有吉布斯测度在平移下不变。这一结论在一阶相变点处是新的，即当 $q>4$ 时 $T=T_{c}(q)$。在此情形下吉布斯测度的结构最为复杂，存在 $q+1$ 个不同的极值测度。大部分工作致力于 $\mathbb{Z}^{2}$ 上 $q\geq 1$ 的 FK 渗流模型，我们证明每个吉布斯测度都是自由测度与连通（wired）测度的线性组合。论证是非定量的，并遵循 Aizenman 与 Higuchi 开创性工作的精神，他们确立了二维 Ising 模型的吉布斯结构。与 Ising 模型情形相比，FK 渗流中的无穷范围依赖（即较弱的空间马尔可夫性质）带来了严重的额外困难。例如，热力学极限是吉布斯测度并非自动成立，尽管为真。随后利用 Edwards-Sokal 耦合与自对偶性导出 Potts 模型的结果。后一要素是必要的，因为将 Edwards-Sokal 过程应用于 Potts 模型的吉布斯测度并不会自动产生 FK 渗流的吉布斯测度。最后，该证明具有足够的普适性，可推广至三角格与六角格上的 FK 渗流与 Potts 模型，以及其自旋表示正关联的参量范围内的环 $O(n)$ 模型。