$\ell^p$ 一致 Roe 代数的结构与 $K$ 理论

在本文中，我们对具有有界几何的度量空间的 $\ell^p$ 一致 Roe 代数在 $p\in [1,\infty)$ 时何时是（稳定）有限的、以及何时在标准形下是真无限的情形进行了刻画。此外，我们证明 $\ell^p$ 一致 Roe 代数是 Phillips 与 Viola 意义下的（非序列）空间 $L^p$ AF 代数，当且仅当底层度量空间具有零渐近维数。我们还考虑了低渐近维数度量空间的 $\ell^p$ 一致 Roe 代数的有序 $K_0$ 群，表明 (1) 当度量空间是非顺从的且具有至多一维渐近维数时，有序 $K_0$ 群是平凡的，以及 (2) 当度量空间是可数局部有限群时，（有序）$K_0$ 群是底层局部有限群的（双射）粗等价类的完全不变量。在这两种情形中，有序 $K_0$ 群都不依赖于 $p\in [1,\infty)$。