Roe代数的刚性

Roe代数是利用度量空间$(X,d)$的大尺度（或'粗'）方面构造的C*-代数。在特殊情形$X=G$为有限生成群且$d$为字度量时，与$(G,d)$相关联的最简单Roe代数同构于约化交叉积C*-代数$l^\infty(G)\rtimes G$。Roe代数是'粗不变量'，即若$X$和$Y$是粗等价的度量空间，则它们的Roe代数同构。受粗Baum-Connes猜想的部分启发，我们问上述命题的逆是否成立：即若$X$和$Y$是具有同构Roe代数的度量空间，$X$和$Y$是否必须粗等价？我们证明，对于非常大的一类空间，这个问题以及某些相关问题的答案是'是'。这可以被视为一个'C*-刚性结果'：它表明Roe代数构造保留了关于空间的大量信息，因而令人惊讶地'刚性'。作为我们结果的一个例子，在群的情形下，若$G$和$H$是有限生成的初等amenable群、双曲群或线性群，且交叉积$l^\infty(G)\rtimes G$与$l^\infty(H)\rtimes H$同构，则$G$和$H$是拟等距的。